已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x，（Ⅰ）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明β-α＜6。-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x，（Ⅰ）如a=b=-3，求f（x）的单调区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）e^-x，
（Ⅰ）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明β-α＜6。

试题来源：海南省高考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）当a=b=-3时，

，
故

，
当x＜-3或0＜x＜3时，f′（x）＞0；当-3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0；
从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调增加，在（-3，0），（3，+∞）单调减少；
（Ⅱ）

，
由条件得：

，
从而

，
因为

，
所以

，
将右边展开，与左边比较系数得，

，
故

，
又

，
由此可得a＜-6，
于是β-α＜6。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x，（Ⅰ）如a=b=-3，求f（x）的单调区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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