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1、试题题目：已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（I）讨论f（x）的单调性；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f'（ x0）＜0．

  试题来源：月考题   试题题型：解答题   试题难度：偏难   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性与导数的关系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）==﹣，
①若a＞0，则由f'（x）=0，得x=，且当x∈（0，）时，f'（x）＞0，
当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；
②当a≤0时，f（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；
（II）设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），则g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g'（x）==，
当x∈（0，）时，g'（x）＞0，而g（0）=0，所以g（x）＞0，
故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（），且f（）＞0，
不妨设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，则0＜x1＜＜x2，
由（II）得，f（﹣x1）=f（）＞f（x1）=f（x2）=0，又f（x）在（，+∞）单调递减，
∴﹣x1＜x2，于是x0=，
由（I）知，f'（ x0）＜0．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（I）讨论f（x）的单调性；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。


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