已知函数f（x）=ax2+2x，g（x）=lnx．（1）求函数y=xg（x）﹣2x的单调增区间．（2）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；（3）是否存在实数a＞0，使得方程=f′（x）﹣（2a+1）在-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+2x，g（x）=lnx．（1）求函数y=xg（x）﹣2x的单调增区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）求函数y=xg（x）﹣2x的单调增区间．
（2）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a＞0，使得方程

=f′（x）﹣（2a+1）在区间（

，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：黑龙江省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵y′=lnx﹣1 令y′＞0，则x＞e
∴函数y=xg（x）﹣2x的单调增区间为（e，+∞）
（2）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是增函数，
当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=﹣

由于y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴﹣

≤1，解得a≤﹣2或a＞0，
∴a＞0
当a＜0时，不符合题意，
综上，a的取值范围为a≥0
（3）方程

=f′（x）﹣（2a+1）
可化简为

=ax+2﹣（2a+1）即为方程ax²+（1﹣2a）x﹣lnx=0．
设H（x）=ax²+（1﹣2a）x﹣lnx，（x＞0）
原方程在区间（

，e）内有且只有两个不相等的实数根，
即函数H（x）在区间（

，e）内有且只有两个零点．
H′（x）=2ax+（1﹣2a）﹣

=

令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=﹣

（舍）
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，，H（x）是增函数．，
H（x）在（

，e）内有且只有两个不相等的零点，
只需

即1＜a＜

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+2x，g（x）=lnx．（1）求函数y=xg（x）﹣2x的单调增区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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