发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-05 07:30:00
| 试题原文 |
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| 解：（1）函数h（x）是补函数，证明如下： ①h（0）=  =1，h（1）= =0；②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（  ）= =a③令g（x）=（h（x））p， 有g′（x）=  =  ，因为λ＞1，p＞0， 所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是减函数， 故h（x）在（0，1）上是减函数由上证，函数h（x）是补函数。 （2）当p=  （n∈N*），由h（x）=x得 ，（i）当λ=0时，中介元xn=  ，（ii）当λ＞-1且λ≠0时，由（*）得  = ∈（0，1）或 = ∈（0，1），得中介元xn=  ，综合（i）（ii）：对任意的λ＞-1，中介元为xn=  ，于是当λ＞-1时，有Sn=  =  = ，当n无限增大时，  无限接近于0，Sn无限接近于 ，故对任意的非零自然数n，Sn＜  等价于 ，即λ∈[3，+∞）。 （3）当λ=0时，h（x）=  ，中介元为 ．（i）0＜p≤1时，  ，中介元为 ≤ ，所以点（xp，h（xp））不在直线y=1-x的上方，不符合条件； （ii）当p＞1时，依题意只需  ＞1-x在x∈（0，1）时恒成立，也即xp+（1-x）p＜1在x∈（0，1）时恒成立 设φ（x）=xp+（1-x）p，x∈（0，1）， 则φ′（x）=p（xp-1-（1-x）p-1） 令φ′（x）=0，得x=  ，且当x∈（0， ）时，φ′（x）＜0，当x∈（  ，1）时，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）=1， 所以x∈（0，1）时，φ（x）＜1恒成立 综上，p的取值范围是（1，+∞）。 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数h（x）满足①h（0）=1，h（1）=0；②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。
（λ＞-1，p＞0）。
（n∈N+）时h（x）的中介元为xn，且Sn=
，若对任意的n∈N+，都有Sn＜
，求λ的取值范围；