已知函数的图象过坐标原点O，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是﹣5．（1）求实数b，c的值；（2）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数的图象过坐标原点O，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数

的图象过坐标原点O，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是﹣5．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

试题来源：江西省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）当x＜1时，f（x）=﹣x³+x²+bx+c，则f'（x）=﹣3x²+2x+b．依题意得：

，
即

解得b=c=0
（2）由（1）知，

①当﹣1≤x＜1时，

，
令f'（x）=0得

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

②当1≤x≤2时，f（x）=alnx．
当a≤0时，f（x）≤0，f（x）最大值为0；
当a＞0时，f（x）在[1，2]上单调递增．
∴f（x）在[1，2]最大值为aln2．
综上，当aln2≤2时，即

时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为2；
当aln2＞2时，即

时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为aln2．
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．
不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t³+t²），显然t≠1
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴

即﹣t²+f（t）（t³+t²）=0（*）
若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．
若0＜t＜1，则f（t）=﹣t³+t²代入（*）式得：﹣t²+（﹣t³+t²）（t³+t²）=0
即t⁴﹣t²+1=0，而此方程无解，因此t＞1．
此时f（t）=alnt，代入（*）式得：
﹣t²+（alnt）（t³+t²）=0
即

（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则

∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∵t＞1
∴h（t）＞h（1）=0，
∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．
∴对于a＞0，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数的图象过坐标原点O，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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