下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；②y=-1x在定义域内是增函数；③函数f(x)=1-x2|x+1|-1图象关于原点对称；④如果关于实数x的方程ax2+1x=3-数学试题及答案

1、试题题目：下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；②y=-

1

x

在定义域内是增函数；③函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

图象关于原点对称；④如果关于实数x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正数解仅有一个，那么实数a的取值范围是a≤0；其中正确的序号是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），但不一定满足增函数的定义，则y=f（x）在D上是增函数错误；
②y=-

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上均为增函数，但在其定义域内不是增函数，故②错误；
③∵函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

为奇函数，∴函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

的图象关于原点对称，故③正确；
④将方程ax2+

1

x

=3x改写为

1

x

=3x-ax2，令 y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．
“关于实数x的方ax2+

1

x

=3x的所有解中，仅有一个正数解”等价于“双曲线y1=

1

x

与y₂=3x-ax²的图象在y轴右侧只有一个交点”．
双曲线y1=

1

x

在第一、三象限内．
当a＞0时，抛物线y₂=3x-ax²的开口向下且过原点（0，0）及x轴正半轴上的点（3a，0），研究知，当a＜2时，双曲线y1=

1

x

与抛物线y₂=3x-ax²在第一象限内有两个交点，当a＞2时，两曲线在第一象限无交点，当a=2进，两曲线仅有一个交点，故a=2符合题意．
当a=0时，y₂=3x-ax²为直线，此时，双曲线y1=

1

x

与直线y₂=3x在第一象限内只有一个交点，故a=0符合题意．
当a＜0时，抛物线y₂=3x-ax²的开口向上且过原点（0，0）及x轴负半轴上的点（3a，0），此时，双曲线 y1=

1

x

与抛物线y₂=3x-ax²在第一象限内仅有一个交点，故a＜0符合题意．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．，故④错误；
故答案为：③

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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