设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．（1）记h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调增区间；（2）若?x∈[1，+∞），方程f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．（1）记h（x）=f（x）+g（x），求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．
（1）记h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调增区间；
（2）若?x∈[1，+∞），方程f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数g（x）的定义域为（0，+∞），所以h（x）的定义域为（0，+∞）
所以h(x)=

x2-x+lnx+m，x≥1

-x2+x+lnx+m，0＜x＜1.

从而得：h′(x)=

2x2-x+1

x

，x≥1

-2x2+x+1

x

，0＜x＜1.

①当x≥1时，由h'（x）＞0得

2x2-x+1

x

＞0，即2x²-x+1＞0，其判别式△＞0恒成立，
故区间[1，+∞）是函数h（x）的单调增区间；
②当0＜x＜1时，由h'（x）＞0得

-2x2+x+1

x

＞0得

112x2-x-1＜0

120＜x＜113

即0＜x＜1，
故区间（0，1）也是函数h（x）的单调增区间．
综上所述，函数h（x）的单调增区间是（0，+∞）．
（2）由题意得：x（x-1）+m＞lnx，?x∈[1，+∞）恒成立，
即m＞-x（x-1）+lnx，?x∈[1，+∞）恒成立，
设F（x）=-x²+x+lnx，x∈[1，+∞），则
F′(x)=-2x+1+

1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

，
显然，当x∈[1，+∞）时，F（x）≤0恒成立，
所以，F（x）在区间[1，+∞）上是单调减函数，
所以[F（x）]_max=F（1）=0，
所以m的取值范围是（0，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．（1）记h（x）=f（x）+g（x），求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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