若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：①f（x）-数学试题及答案

1、试题题目：若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：
①f（x）=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；
②f（x）=x不是“λ-伴随函数”；
③f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”；
④“

1

2

-伴随函数”至少有一个零点．
其中不正确的序号是______（填上所有不正确的结论序号）．

试题来源：东坡区一模试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”，故①不正确；
②∵f（x）=x，∴f（x+λ）+λf（x）=x+λ+λx，当λ=-1时，f（x+λ）+λf（x）=-1≠0；λ≠-1时，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，∴（x）=x不是“λ-伴随函数”，故②正确；
③用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”，则（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-伴随函数”，故③不正确；
④令x=0，得f（

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）+

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f（0）=0，所以f（

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）=-

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2

f（0）
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

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）?f（0）=-

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2

（f（0））2＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，

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2

）上必有实数根．因此任意的“

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-伴随函数”必有根，即任意“

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2

-伴随函数”至少有一个零点，故④正确
故答案为：①③

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：