（理）（1）证明不等式：ln（1+x）＜x1+x（x＞0）．（2）已知函数f（x）=ln（1+x）-axa+x在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．（3）若关于x的不等式x1+bx+1ex≥1在[0，+∞）上恒成立，求实数b的-数学试题及答案

1、试题题目：（理）（1）证明不等式：ln（1+x）＜x1+x（x＞0）．（2）已知函数f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

（理）（1）证明不等式：ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．
（2）已知函数f（x）=ln（1+x）-

ax

a+x

在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
（3）若关于x的不等式

x

1+bx

+

1

ex

≥1在[0，+∞）上恒成立，求实数b的最大值．

试题来源：黄州区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：（1）令h（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，则h′（x）=

1-

1+x+

1

4

x2

1+x

＜0
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，即h（x）＜h（0）=0
∴ln（1+x）-

x

1+x

＜0
∴ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．
（2）求导函数，可得f′（x）=

x[x-(a2-2a)]

(x+1)(x+a)2

，令f′（x）=0，可得x=0或x=a²-2a，
∵函数f（x）=ln（1+x）-

ax

a+x

在（0，+∞）上单调递增
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
∴a²-2a≤0
∵f（x）在（0，+∞）上有意义
∴a≥0
∴0≤a≤2；
（3）关于x的不等式

x

1+bx

+

1

ex

≥1在[0，+∞）上恒成立，等价于

x

1+bx

≥1-

1

ex

在[0，+∞）上恒成立，
∵1-

1

ex

≥0，∴b≥0
当x＞0时，b≤1+

1

ex-1

-

1

x

构造函数g（x）=1+

1

ex-1

-

1

x

，则g′(x)=-

ex

(ex-1)2

+

1

x2

由（1）知，ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．
以e^x代1+x，可得x＜

ex-1

ex

，
∵x＞0，∴-

ex

(ex-1)2

+

1

x2

＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调增
当x＞0且x→0时，g（x）→1
∴b≤1
∴实数b的最大值为1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理）（1）证明不等式：ln（1+x）＜x1+x（x＞0）．（2）已知函数f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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