若函数f(x)=13x3-a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）-f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是_____

1、试题题目：若函数f(x)=13x3-a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）-f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

若函数f(x)=

1

3

x3-a2x满足：对于任意的x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，则a的取值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意f′（x）=x²-a²
当|a|≥1时，在x∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数，
故最大值为f（0）=0，最小值为f（1）=

1

3

-a²
故有a2-

1

3

≤1，解得|a|≤

2

3

，解可得-

2

3

≤a≤

2

3

；
又|a|≥1，则-

2

3

≤a≤-1或1≤a≤

2

3

．
当|a|∈[0，1），由导数知函数在[0，a]上减，在[a，1]上增；
故最小值为f（a）=-

2

3

a3＜0，
又f（0）=0，f（1）=

1

3

-a²；
若f（0）=0是最大值，此时符合；若f（1）=

1

3

-a²是最大值，此时也符合，
故对任意的|a|∈[0，1）都有对于任意的x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立
综上得a的取值范围是-

2

3

≤ a≤

2

3

、
故答案为：-

2

3

≤ a≤

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数f(x)=13x3-a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）-f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：