设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x﹣2）﹣（x﹣2）3．（1）求f（x）的解析式；（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x1，x2∈（﹣1，1），不等式|f-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x﹣2）﹣（x﹣2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x₁，x_2^∈（﹣1，1），不等式|f（x₁）﹣f（
x₂）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x₀≥1，f（x₀）≤1时，有f[f（x₀）]=x₀，求证：
f（x₀）=x₀．

试题来源：北京市期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，
设点M（x，f（x））是f（x）上的任意一点．
则点M关于x=1的对称点（2﹣x，g（2﹣x））在函数g（x）的图象上．
∴f（x）=g（2﹣x）=﹣ax+x³．
（2）f′（x）=﹣a+3x²，又x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=0

﹣a+3=0，得a=3，
故f（x）=﹣3x+x³．f′（x）=﹣3+3x²=﹣3（x+1）（x﹣1），
当x∈[﹣1，1]，f′（x）≤0， ∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数．
f_min（x）=f（1）=﹣2，f_max（x）=f（﹣1）=2，
故对任意x₁，x₂∈（﹣1，1），有|f（x₁）﹣f（x₂）|＜|2﹣（﹣2）|=4．
（3）若f（x）在[1，+∞）是减函数，则f′（x）=﹣a+3x²＜0在[1，+∞）上恒成立．
即a≥3x²在[1，+∞）上恒成立，此时a不存在；
若f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立．故a≤3．
设f（x₀）＞x₀≥1则f[f（x₀）]＞f（x₀），
∴x₀＞f（x₀）矛盾，
若x₀＞f（x₀）≥1则f（x₀）＞f[f（x₀）]
∴f（x₀）＞x₀矛盾！故f（x₀）=x₀．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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