设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）若x=0是F（x）的极值点，求实数a的值；（2）若x＞0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）若x=0是F（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若x＞0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．

试题来源：山西省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）F（x）=e^x+sinx﹣ax，求导函数可得F′（x）=e^x+cosx﹣a．
因为x=0是F（x）的极值点，
所以F′（0）=1+1﹣a=0，
∴a=2．
当a=2时，若x＜0，F′（x）=e^x+cosx﹣a＜0；
若x＞0，F′（x）=e^x+cosx﹣a＞0；
∴x=0是F（x）的极小值点，
∴a=2符合题意；
（2）令h（x）=F（x）﹣F（﹣x）=e^x﹣e^﹣x+2sinx﹣2ax，
则h′（x）=e^x+e^﹣x+2cosx﹣2a，S（x）=h″（x）=e^x﹣e^﹣x﹣2sinx．
因为S′（x）=e^x+e^﹣x﹣2cosx≥0，
当x＞0时恒成立，所以函数S（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴S（x）≥S（0）=0当x∈（0，+∞）时恒成立；
因此函数h′（x）在[0，+∞）上单调递增，
h′（x）≥h′（0）=4﹣2a，当x∈（0，+∞）时恒成立．
当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）单调递增，即h（x）≥h（0）=0．
故a≤2时，F（x）＞F（﹣x）恒成立．
当a＞2时，h′（x）＜0，
∵h′（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴总存在x₀∈（0，+∞）使得在区间[0，x₀）上h′（x）＜0，
∴h（x）在区间[0，x₀）上递减，而h（0）=0
∴当x∈（0，x₀）时，h（x）＜0，这与F（x）﹣F（﹣x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立矛盾
∴a＞2不合题意
综上a的取值范围是（﹣∞，2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）若x=0是F（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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