定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]，则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0），（1）当a=1时，试判断函数f（x-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤12..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f （x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]，则称函数f （x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），
（1）当a=1时，试判断函数f （x）是否为凹函数，并说明理由；
（2）如果函数f （x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a=1时，函数f（x）是凹函数，
此时f（x）=x²+x，f(

x1+x2

2

)=（

x1+x2

2

）²+（

x1+x2

2

），

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[x₁²+x₁+x₂²+x₂]，
作差得到：f(

x1+x2

2

)²-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=（

x1+x2

2

）²+（

x1+x2

2

）-

1

2

（x₁²+x₂²）-

1

2

（x₁+x₂）
=

x

21

+2x1x2+

x

22

4

-

2

x

21

+2

x

22

4

=

-

x

21

+2x1x2-

x

22

4

=-(

x1+x2

2

)2≤0，
即有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
故知函数f（x）=x²+x为凹函数；
（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，
则有

ax2+x≥-1

ax2+x≤1

?

ax2≥-x-1

ax2≤-x+1.

i）若x=0时，则a∈R恒成立，
ii）若x∈（0，1]时，有

a≥-

1

x

-

1

x2

a≤-

1

x

+

1

x2

?

a≥-(

1

x

+

1

2

)2+

1

4

(1)

a≤(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

. (2)

∵0＜x≤1?

1

x

≥1．
∴当

1

x

=1时，a≥-(1+

1

2

)2+

1

4

=-2a≤(1-

1

2

)2-

1

4

=0
所以0≥a≥-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤12..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：