定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且AM=2MB．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过F(0，3)且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上-数学试题及答案

1、试题题目：定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且

AM

=2

MB

．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设过F(0，

3

)且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y）
则

x=

x1

1+2

y=

2y1

1+2

∴

x1=3x

y1=

3

2

y

，|AB|=3=

(3x)2+(

3

2

y)2

即：

y2

4

+x2=1
（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m），
则(0≤m≤

3

)，设l的方程为：y=kx+

3

，（k≠0），代入椭圆方程，
得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2

3

k

k2+4

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

3

=

8

3

k2+4

．∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴(

DA

+

DB

) ⊥

AB

，

DA

+

DB

=(x1，y1-m) +(x2，y2-m)=(-

2

3

k

k2+4

，

8

3

k2+4

-2m)，

AB

的方向向量为（1，k），(

DA

+

DB

) ?

AB

=0，
∴-

2

3

k

k2+4

+

8

3

k

k2+4

-2mk=0即m=

3

k2+4

∵k²＞0，∴m=

3

k2+4

＜

3

4

＜

3

，∴0＜m＜

3

，∴存在满足条件的点D．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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