已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）过椭圆C₁的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．

试题来源：聊城一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由e=

3

，得

b2

a2

=1-e=

2

3

；（2分）
由直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切，得

2

=|b|．所以，b=

2

，a=

3

所以椭圆的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．（4分）
（2）由条件，知|MF₂|=|MP|．即动点M到定点F₂的距离等于它到直线l₁：x=-1的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是y²=4x．（8分）
（3）由（1），得圆O的方程是x2+y2=2，A(-

3

，0)，直线m的方程是y=k(x+

3

)
设R(x1，y1)，S(x2，y2)，由

x2+y2=2

y=k(x+

3

)

得(1+k2)x2+2

3

k2x+3k2-2=0（10分）
则x1+x2=-

2

3

k2

1+k2

，x1x2=

3k2-2

1+k2

；
由△=(2

3

k2)2-4(1+k2)(3k2-2)＞0，得-

2

＜k＜

2

．①（12分）
因为△ORS是钝角三角形，所以

OR

?

OS

＜0，即

OR

?

OS

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+

3

)(x2+

3

)=(1+k2)x1x2+

3

k2(x1+x2)+3k2=

4k2-2

1+k2

＜0
所以-

2

＜k＜

2

．②（13分）
由A、R、S三点不共线，知k≠0． ③
由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是-

2

＜k＜

2

，且k≠0（14分）
（注：其它解法相应给分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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