过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．求△AOB的重心G的轨迹C的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

过抛物线y²=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．求△AOB的重心G的轨迹C的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-1），代入y²=4x，
得k²x²-x（2k²+4）+k²=0．
设l方程与抛物线相交于两点，
∴k≠0．设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
根据韦达定理，有x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，
从而y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

．
设△AOB的重心为G（x，y），
消去k，得x=

2

3

+

4

3

（

3

4

y）2，
则x=

0+x1+x2

3

=

2

3

+

4

3k2

，y=

0+y1+y2

3

=

4

3k

，
∴y²=

4

3

x-

8

9

．
当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（1，2）和（1，-2），△AOB的重心G（

2

3

，0），也适合y²=

4

3

x-

8

9

，
因此所求轨迹C的方程为y²=

4

3

x-

8

9

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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