已知曲线C的方程为y2=4x（x＞0），曲线E是以F1（-1，0）、F2（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且|PF2|=53．（1）求曲线E的标准方程；（2）直线l与椭圆E相交于A-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C的方程为y2=4x（x＞0），曲线E是以F1（-1，0）、F2（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知曲线C的方程为y²=4x（x＞0），曲线E是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且|PF2|=

5

3

．
（1）求曲线E的标准方程；
（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
依题意，c=1，|PF2|=

5

3

，利用抛物线的定义可得x_P-（-1）=

5

3

，解得xP=

2

3

，
∴P点的坐标为(

2

3

，

2

6

3

)，所以|PF1|=

7

3

，
由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=

7

3

+

5

3

=4，a=2．
∴b²=a²-c²=3，
所以曲线E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线l与椭圆E的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点M的坐标为（x₀，y₀），
设直线l的方程为y=kx+m（k≠0，m≠0），
与

x2

4

+

y2

3

=1联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0得4k²-m²+3＞0①，
由韦达定理得，x₁+x₂=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
则x₀=

-4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

，
将中点（

-4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

）代入曲线C的方程为y²=4x（x＞0），
整理，得9m=-16k（3+4k²），②
将②代入①得16²k²（3+4k²）＜81，
令t=4k²（t＞0），
则64t²+192t-81＜0，解得0＜t＜

3

8

，
∴-

6

8

＜k＜

6

8

．
所以直线l的斜率k的取值范围为-

6

8

＜k＜

6

8

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C的方程为y2=4x（x＞0），曲线E是以F1（-1，0）、F2（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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