已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB．求证：直线L过定点，并求出该定点的-数学试题及答案

1、试题题目：已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，若记点P的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB．求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）解法（一）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，
所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等．
由抛物线定义得：点p在以F为焦点直线x+2=0为准线的抛物线上，
抛物线方程为y²=8x．
解法（二）：设动点P（x，y），则

(x-2)2+y2

=|x+4|-2
当x≤-4时，（x-2）²+y²=（-x-6）²，化简得：y²=8（x+2），显然x≥-2，但x≤-4，故此时曲线不存在；
当x＞-4时，（x-2）²+y²=（x+2）²，化简得：y²=8x．
（2）设直线L：y=kx+b与抛物线的交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
①若L斜率存在，设斜率为k，则

y=kx+b

y2=8x

，整理后得ky²-8y+8b=0，且

k≠0

△=64-32kb≥0

y1y2=

8b

k

，又

y12=8x1

y22=8x2

，得x1x2=

y12y22

64

=

b2

k2

由OA⊥OB，得

y1

x1

?

y2

x2

=-1，即

8k

b

=-1，b=-8k
直线为y=k（x-8），所以L过定点（8，0）；
②若L斜率不存在，则OA的斜率为1，

y=k

y2=8x

，得x=8，即直线L过（8，0）；
综上：直线恒过定点（8，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，若记点P的..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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