如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点，（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2， AB= BC，且AB⊥BC，O为AC中点，
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

试题来源：北京期中题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

(Ⅰ)证明：因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，所以，A₁O⊥AC，
又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交线为AC，
且面AA₁C₁C，
所以，A₁O⊥平面ABC．

(Ⅱ)解：如图，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别
为x，y，x 轴建立空间直角坐标系，
由题意可知，A₁A=A₁C=AC=2，
又AB= BC，AB⊥BC，

，
所以得：O(0，0，0)，A(0，-l，0)，

，
C(0，1，0)，

，B(l，0，0)，
则有

，
设平面AA₁B的一个法向量为n=(x，y，z)，
则有

，
令y=1，则

，
所以，

，

，
因为直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量n与

所成锐角互余，
所以，

。
(Ⅲ)解：设E=（x₀，y₀，z₀），

，
即-1+λ+2λ-λ=0，即

，
即存在这样的点E，E为BC₁的中点。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

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