已知等比数列{an}的公比q≠1，a1=3，且3a2、2a3、a4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=21og3an，求证：数列{bn}成等差数列；（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ(1-1b-数学试题及答案

1、试题题目：已知等比数列{an}的公比q≠1，a1=3，且3a2、2a3、a4成等差数列．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知等比数列{a_n}的公比q≠1，a₁=3，且3a₂、2a₃、a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=21og₃a_n，求证：数列{b_n}成等差数列；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ(1-

1

b1

)(1-

1

b2

)…(1-

1

bn

)(-1)n=1＜

1

bn+1

．对一切，n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

试题来源：红桥区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由3a₂，2a₃，a₄ 成等差数列，
所以4a₃=a₄+3a₂，即4a1q2=a1q3+3a1q．∵a₁≠0，q≠0，
∴q²-4q+3=0，即（q-1）（q-3）=0．
∵q≠1，∴q=3，
由a₁=3，得an=a1qn-1=3n；
（2）∵an=3n，∴bn=2log33n=2n．
得b_n-b_n-1=2．
∴{b_n}是首项为9，公差为2的等差数列；
（3）由b_n=2n，
设cn=

1

(1-

1

b1

)(1-

1

b2

)…(1-

1

bn

)

bn+1

，则不等式等价于（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n．

cn+1

cn

=

bn+1

(1-

1

bn+1

)

bn+1+1

=

2n+1

(1-

1

2n+2

)

2n+3

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1．
∵c_n＞0，∴c_n+1＞c_n，数列{c_n}单调递增．
假设存在这样的实数λ，使的不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n对一切n∈N^*都成立，则
①当n为奇数时，得λ＜(cn)min=c1=

2

3

；
当n为偶数时，得-λ＜(cn)min=c2=

8

5

15

，即λ＞-

8

5

15

．
综上，λ∈(-

8

5

15

，

2

3

)，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等比数列{an}的公比q≠1，a1=3，且3a2、2a3、a4成等差数列．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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