设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式tSn-（t+1）Sn-1=t（t＞0，n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1，bn=f(1bn-1)（n-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式tSn-（t+1）Sn-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式tS_n-（t+1）S_n-1=t（t＞0，n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，bn=f(

1

bn-1

)（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{b_n}满足条件（Ⅱ），求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

试题来源：石景山区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵tS_n-（t+1）S_n-1=t，（n≥2）①tS_n-1-（t+1）S_n-2=t，（n≥3）②
①-②，得ta_n-（t+1）a_n-1=0．
∴

an

an-1

=

t+1

t

（n∈N^*，n≥3）．
又由t（1+a₂）-（t+1）=t．得a2=

t+1

t

．
又∵a₁=1，∴

a2

a1

=

t+1

t

．
所以{a_n}是一个首项为1，公比为

t+1

t

的等比数列．
（Ⅱ）由f（t）=

t+1

t

，得bn=f(

1

bn-1

)=1+b_n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴{b_n}是一个首项为1，公差为1的等差数列．
于是b_n=n．
（Ⅲ）由b_n=n，可知{b_2n-1}和{b_2n}是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，
于是b_2n=2n．
∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）=-2（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2?

(2+2n)n

2

=-2n2-2n．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式tSn-（t+1）Sn-..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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