数列{an}满足a1=1，an+3=an+3，an+2≥an+2（n∈N*）．（1）求a7，a5，a3，a6；（2）求数列{an}的通项公式an；（3）求证：1a12+1a22+1a32+…+1an2＜2．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=1，an+3=an+3，an+2≥an+2（n∈N*）．（1）求a7，a5，a3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₇，a₅，a₃，a₆；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求证：

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a₁=1，a_n+3=a_n+3，
∴a₄=4，a₇=7
∵a_n+2≥a_n+2
∴a₃≥3，a₅≥a₃+2，a₇≥a₅+2，
∴a₅=5，a₃=3，a₆=a₃+3=6
（2）∵a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）
∴a_n+3≤a_n+2+1（n∈N^*）
∴a_n+1≤a_n+1，a_n+2≤a_n+1+1
∴a_n+1+a_n+2+a_n+3≤a_n+a_n+1+a_n+2+3，即a_n+3≤a_n+3
∴a_n+1=a_n+1，a_n+2=a_n+1+1，a_n+3=a_n+2+1
∴{a_n}为等差数列，公差d=1．
∴a_n=n
（3）证明：n=1时，

1

a12

=1＜2成立n＞1时，
∵

1

an2

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n＞1）
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=1，an+3=an+3，an+2≥an+2（n∈N*）．（1）求a7，a5，a3..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：