数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=2S2n2Sn-1（n≥2）．（1）求证：数列{1Sn}的通项公式；（2）设存在正数k，使（1+S1）（1+S2）..（1+Sn）≥k2n+1对一切n∈N×都成立，求k的最大-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=2S2n2Sn-1（n≥2）．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n与a_n之间满足a_n=

2

S

2n

2Sn-1

（n≥2）．
（1）求证：数列{

1

Sn

}的通项公式；
（2）设存在正数k，使（1+S₁）（1+S₂）..（1+S_n）≥k

2n+1

对一切n∈N^×都成立，求k的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵n≥2时，a_n=S_n-S_n-1（1分）
∴S_n-S_n-1=

2S

2n

2Sn-1

，∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，
∴=S_n-1-S_n=2S_nS_n-1（3分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），（5分）
数列{

1

Sn

}是以

1

S1

=1为首项，以2为公差的等差数列．（6分）
（2）由（1）知

1

Sn

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，∴Sn+1=

1

2n+1

（7分）
设F（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，
则

F(n+1)

F(n)

=

(1+Sn+1)

2n+1

2n+3

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1（10分）
∴F（n）在n∈N^*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k
∵[F（n）]_min=F（1）=

2

3

，∴0＜k≤

2

3

，k_max=

2

3

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=2S2n2Sn-1（n≥2）．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：