如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点。（1）求证：AE⊥DE；（2）计算AC·AF的值。-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-23 07:30:00

试题原文

如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点。
（1）求证：AE⊥DE；
（2）计算AC·AF的值。

试题来源：安徽省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，D为BC的中点，
∴∠ABD=60°，AD=BD=DC，
∴△ABD为等边三角形，
∴O点为△ABD的中心（内心，外心，垂心三心合一），
∴连接OA，OB，∠BAO=∠OAD=30°，
∴∠OAC=60°，
又∵AE为⊙O的切线，
∴OA⊥AE，∠OAE=90°，
∴∠EAF=30°，
∴AE∥BC，
又四边形ABDF内接于⊙，
∴∠FDC=∠BAC=90°，
∴∠AEF=∠FDC=90°，
即AE⊥DE；

（2）由（1）知，△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠ADF=∠C=30°，∠FAD=∠DAC，
∴△ADF∽△ACD，
则

　　
∴AD²=AC·AF，
又

　
∴AC·AF=36。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接..”的主要目的是检查您对于考点“初中直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）”。

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