设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：x1+x＜ln(x+1)＜x；（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：-1a＜g(a)＜0．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：

x

1+x

＜ln(x+1)＜x；
（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：-

1

a

＜g(a)＜0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0，
∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且f′(x)=

ax-1

x+1

，a＞0，
由f′（x）=0，得x=

1

a

．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（-1，

1

a

）

1

a

（

1

a

，+∞）

f′（x）

-

0

+

f（x）

↓

极小值

↑

由上表知，当x∈（-1，

1

a

）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，

1

a

）内单调递减；
当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（

1

a

，+∞）内单调递增．
∴函数f（x）的增区间是（

1

a

，+∞），减区间是（-1，

1

a

）．
（Ⅱ）证明：设?（x）=ln（x+1）-

x

1+x

，x∈[0，+∞），
对?（x）求导，得?′（x）=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

．
当x≥0时，?′（x）≥0，所以?（x）在[0，+∞）内是增函数．
∴?（x）＞?（0）=0，即ln（x+1）-

x

1+x

＞0，
∴

x

1+x

＜ln(x+1)．
同理可证ln（x+1）＜x，
∴

x

1+x

＜ln(x+1)＜x．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，g(a)=f(

1

a

)=1-(a+1)?ln(

1

a

+1)，
将x=

1

a

代入

x

1+x

＜ln(x+1)＜x，
得

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)＜

1

a

，
即1＜(a+1)ln(

1

a

+1)＜1+

1

a

，
∴-

1

a

＜1-(a+1)ln(

1

a

+1)＜0，
故-

1

a

＜g(a)＜0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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