已知函数f（x）=ln-ax2+x（a＞0），（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）在定义域上有两个极值点x1、x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3-2ln2。-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln-ax2+x（a＞0），（1）若f（x）是定义域上的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln

-ax²+x（a＞0），
（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）在定义域上有两个极值点x₁、x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2。

试题来源：海南省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）f（x）=-lnx-ax²+x，
f′（x）=

，
令△=1-8a，
当a

时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当0＜a＜

时，△＞0，方程2ax²-x+1=0有两个不相等的正根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，则当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，f′（x）＜0，
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0，这时f（x）不是单调函数；
综上，a的取值范围是[

，+∞）。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈（0，

）时，f（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，
且x₁+x₂=

，x₁x₂=

，

，
令g（a）=ln（2a）+

+1，a∈（0，

]，
则当a∈（0，

）时，g′（a）=

，
g（a）在（0，

）单调递减，所以g（a）＞g（

）=3-2ln2，
即f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln-ax2+x（a＞0），（1）若f（x）是定义域上的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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