发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-05 07:30:00
试题原文 |
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解:(Ⅰ)由题意可得:f1(x)=cosx,x∈[0,π],f2(x)=1,x∈[0,π]. (Ⅱ), 当x∈[﹣1,0]时,1﹣x2≤k(x+1),∴k≥1﹣x,k≥2; 当x∈(0,1)时,1≤k(x+1),∴,∴k≥1; 当x∈[1,4]时,x2≤k(x+1),∴,∴. 综上所述,∴ 即存在k=4,使得f(x)是[﹣1,4]上的4阶收缩函数. (Ⅲ)f'(x)=﹣3x2+6x=﹣3x(x﹣2),令f'(x)=0得x=0或x=2. 函数f(x)的变化情况如下: 令f(x)=0,解得x=0或3. (ⅰ)b≤2时,f(x)在[0,b]上单调递增, 因此,f2(x)=f(x)=﹣x3+3x2,f1(x)=f(0)=0. 因为f(x)=﹣x3+3x2是[0,b]上的2阶收缩函数, 所以,①f2(x)﹣f1(x)≤2(x﹣0)对x∈[0,b]恒成立; ②存在x∈[0,b],使得f2(x)﹣f1(x)>(x﹣0)成立. ①即:﹣x3+3x2≤2x对x∈[0,b]恒成立, 由﹣x3+3x2≤2x,解得:0≤x≤1或x≥2, 要使﹣x3+3x2≤2x对x∈[0,b]恒成立,需且只需0<b≤1. ②即:存在x∈[0,b],使得x(x2﹣3x+1)<0成立. 由x(x2﹣3x+1)<0得:x<0或, 所以,需且只需. 综合①②可得:. (ⅱ)当b>2时,显然有,由于f(x)在[0,2]上单调递增, 根据定义可得:,, 可得, 此时,f2(x)﹣f1(x)≤2(x﹣0)不成立. 综合ⅰ)ⅱ)可得:. 注:在ⅱ)中只要取区间(1,2)内的一个数来构造反例均可,这里用只是因为简单而已. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断,定义:f1(x)=min{f(t)|a≤..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。