设函数。（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间内存在唯一的零点；（2）设n为偶数，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2-数学试题及答案

1、试题题目：设函数。（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间内存在唯一的零点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

设函数

。
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间

内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围。

试题来源：高考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）当b=1，c=-1，n≥2时，f（x）=xⁿ+x-1
∵f（

）f（1）=（

-

）×1＜0，
∴f（x）在区间

内存在零点，
又当x∈（

，1）时，f′（x）=nx^n-1+1＞0，
∴f（x）在（

，1）上单调递增，
∴f（x）在区间

内存在唯一的零点；
（2）由题意知

，即

由图象知b+3c在点（0，-2）取到最小值-6，在点（0，0）处取到最大值0，
∴b+3c的最小值为-6，最大值为0。
（3）当n=2时，f（x）=x²+bx+c，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，
有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，等价于在[-1，1]上最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下：
（i）当

＞1，即|b|＞2，M=|f（1）-f（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾；
（ii）当-1≤-

＜0，即0＜b≤2时，M=f（1）-f（-

）=

≤4恒成立，
（iii）当0≤-

≤1，即-2≤b≤0时，M=f（-1）-f（-

）=

≤4恒成立，
综上所述，-2≤b≤2。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数。（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间内存在唯一的零点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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