设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+1x2（a为实数）．（Ⅰ）求当x∈（0，1]时，f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+

1

x2

（a为实数）．
（Ⅰ）求当x∈（0，1]时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，
当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+

1

x2

（a为实数）．
∴当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0）．
f(x)=-f(-x)=-(-2ax+

1

x2

)=2ax-

1

x2

…（3分）
（II）∵x∈（0，1]时，f(x)=2ax-

1

x2

，
∴f′(x)=2a+

2

x3

，
因为f（x）在（0，1]上是增函数，
所以f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，
即a≥-

1

x3

在（0，1]上恒成立，
令g(x)=-

1

x3

，x∈(0，1]，
g（x）在（0，1]上是单调增函数，
所以[g（x）]_max=g（1）=-1，
所以a≥-1．…（8分）
（Ⅲ）①当a≥-1时，
由（II）知f（x）在（0，1]上是增函数，
所以[f（x）]_max=f（1）=-6，
解得a=-

5

2

，与a≥-1矛盾．…（10分）
②当a＜-1时，
令f'（x）=0，x=

3

-

1

a

∈(0，1]，
当x∈(0，

3

-

1

a

)时，
f′(x)=2(a+

1

x3

)＞0，f（x）是增函数，
当x∈(

3

-

1

a

，1 )时，
f′(x)=2(a+

1

x3

)＜0，f（x）是减函数．
所以[f(x)]max=f(

3

-

1

a

)=-6，
即2a

3

-

1

a

-

1

(

3

-

1

a

)2

=-6，
解得

3

-

1

a

=

2

，a=-2

2

．
综上，存在a=-2

2

，
使得当x∈（0，1]时，
f（x）有最大值-6．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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