设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³；
当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x³，
∴f(x)=

-2ax+4x3，-1≤x≤0

2ax-4x3，0＜x≤1.

（2）由题设知，f'（x）＞0对x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x²＞0对x∈（0，1]恒成立，
于是，a＞6x²，
从而a＞（6x²）_max=6．
（3）因为f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值．
令f'（x）=2a-12x²=0，
解得x=

a

6

．
①若

a

6

∈（0，1]，即0＜a≤6，
则[f(x)]max=f(

a

6

)=2a×

a

6

-4(

a

6

)3＜2a×

a

6

≤12，
故此时不存在符合题意的a；
②若

a

6

＞1，即a＞6，
则f（x）在（0，1]上为增函数，
于是[f（x）]_max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．
综上，存在a=8满足题设．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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