发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-08 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1}, 当n=2时,f(x)=
(1)当a>0时,由f'(x)=0得x1=1+
此时f′(x)=
当x∈(1,x1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(x1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. (2)当a≤0时,f'(x)<0恒成立,所以f(x)无极值. 综上所述,n=2时, 当a>0时,f(x)在x=1+
当a≤0时,f(x)无极值. (Ⅱ)证法一:因为a=1,所以f(x)=
当n为偶数时, 令g(x)=x-1-
则g′(x)=1+
所以当x∈[2,+∞)时,g(x)单调递增, 又g(2)=0, 因此g(x)=x-1-
所以f(x)≤x-1成立. 要证f(x)≤x-1,由于
令h(x)=x-1-ln(x-1), 则h′(x)=1-
所以当x∈[2,+∞)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增,又h(2)=1>0, 所以当x≥2时,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命题成立. 综上所述,结论成立. 证法二:当a=1时,f(x)=
当x≥2时,对任意的正整数n,恒有
故只需证明1+ln(x-1)≤x-1. 令h(x)=x-1-(1+ln(x-1))=x-2-ln(x-1),x∈[2,+∞), 则h′(x)=1-
当x≥2时,h'(x)≥0,故h(x)在[2,+∞)上单调递增, 因此当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立. 故当x≥2时,有
即f(x)≤x-1. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=1(1-x)n+aln(x-1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的奇偶性、周期性”。