已知函数f(x)=a|x|+2ax（a＞0，a≠1），（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；（2）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a|x|+2ax（a＞0，a≠1），（1）若a＞1，且关于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=a|x|+

2

ax

（a＞0，a≠1），
（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．

试题来源：南京模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令a^x=t，x＞0，
∵a＞1，所以t＞1，
∴关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解
转化为：方程t+

2

t

=m有相异的且均大于1的两根，
∴

△=m2-8＞0

m

2

＞1

12-m+2＞0

解得2

2

＜m＜3，
故实数m的取值范围是(2

2

，3)．
（2）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）
①当a＞1时，
x≥0时，a^x≥1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈[3，+∞），
-2≤x＜0时，

1

a2

≤ax＜1，g（x）=a^-x+2a^x，所以g′(x)=-a-xlna+2axlna=

2(ax)2-1

ax

lna
ⅰ当

1

a2

＞

1

2

即1＜a＜

4	2

时，对?x∈（-2，0），g′（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上递增，
所以g(x)∈[a2+

2

a2

，3)，
综上：g（x）有最小值为a2+

2

a2

与a有关，不符合（10分）
ⅱ当

1

a2

≤

1

2

即a≥

4	2

时，由g′（x）=0得x=-

1

2

loga2，
且当-2＜x＜-

1

2

loga2时，g′（x）＜0，
当-

1

2

loga2＜x＜0时，g′（x）＞0，
所以g（x）在[-2，-

1

2

loga2]上递减，在[-

1

2

loga2，0]上递增，
所以g(x)min=g(-

1

2

loga2)=2

2

，
综上：g（x）有最小值为2

2

与a无关，符合要求．
②当0＜a＜1时，
a）x≥0时，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈（0，3]
b）-2≤x＜0时，1＜ax≤

1

a2

，g（x）=a^-x+2a^x，
所以g′(x)=-a-xlna+2axlna=

2(ax)2-1

ax

lna＜0，g（x）在[-2，0）上递减，
所以g(x)∈(3，a2+

2

a2

]，
综上：a）b）g（x）有最大值为a2+

2

a2

与a有关，不符合
综上所述，实数a的取值范围是a≥

4	2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a|x|+2ax（a＞0，a≠1），（1）若a＞1，且关于..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：