已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）﹣f₁（x）≤k（x﹣a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）已知函数f（x）=2sinx，x∈[0，

]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式，并判断f（x）是否为[0，

]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知b＞0，函数g（x）=﹣x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

试题来源：湖南省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由题意可得，

于是f₂（x）﹣f₁（x）=2sinx．
若f（x）是[0，

]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在[0，

]上恒成立，且

x₁∈[0，

]使得2sinx＞（k﹣1）x 成立．
令φ（x）=sinx﹣x，x∈[0，

]，则φ′（x）=cosx﹣1＜0，
所以φ（x）=sinx﹣x在[0，

]单调递减，
∴φ（x）≤φ（0），x∈[0，

]，
即sinx≤x，于是2sinx≤2x在[0，

]恒成立；
又

x₁=

，2sinx＞x成立．
故存在最小的正整数k=2，使f（x）为[0，

]上的“2阶收缩函数”．
（2）g'（x）=﹣3x²+6x=﹣3x（x﹣2），
令g'（x）=0得x=0或x=2．
令g（x）=0，解得x=0或3．
函数g（x），g′（x）的变化情况如下：

（i）b≤2时，g（x）在[0，b]上单调递增，因此，g₂（x）=g（x）=﹣x³+3x²，g₁（x）=g（0）=0．
因为g（x）=﹣x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，
所以，①g₂（x）﹣g₁（x）≤2（x﹣0）对x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得g₂（x）﹣g₁（x）＞（x﹣0）成立．
①即：﹣x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，
由﹣x³+3x²≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使﹣x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x²﹣3x+1）＜0成立．
由x（x²﹣3x+1）＜0得：x＜0或

，
所以，需且只需

．
综合①②可得：

（ii）当b＞2时，显然有

，由于g（x）在[0，2]上单调递增，根据定义可得：

，
可得

，
此时，g₂（x）﹣g₁（x）≤2（x﹣0）不成立．
综合（i），（ii）可得：

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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