已知函数f（x）=13x3-ax2+b在x=2处有极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在R上有且仅有一个零点，求b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=13x3-ax2+b在x=2处有极值．（1）求函数f（x）的单调区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

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x3-ax2+b在x=2处有极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在R上有且仅有一个零点，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=x²-2ax…（1分）
由题意知：f′（2）=4-4a=0，得a=1，…（3分）
∴f′（x）=x²-2x，
令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，…（5分）
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，…（6分）
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），
单调递减区间是（0，2）．…（7分）
（2）由（1）知，f（x）=

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x3+x2-b，
f （2）=b-

4

3

为函数f （x）极小值，f （0 ）=b为极大值．…（10分）
∵函数f （x）在R上有且仅有一个零点，
∴b-

4

3

＞0或b＜0 …（12分）
即 b＞

4

3

或b＜0 …（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=13x3-ax2+b在x=2处有极值．（1）求函数f（x）的单调区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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