a=(x2，2)，b=(x，1)（1）若a∥b，求x；（2）若函数f(x)=a?b对应的图象记为C（I）求曲线C在A（1，3）处的切线方程？（II）若直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点，求-数学试题及答案

1、试题题目：a=(x2，2)，b=(x，1)（1）若a∥b，求x；（2）若函数f(x)=a?b对应的图象..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

a

=(x2，2)，

b

=(x，1)
（1）若

a

∥

b

，求x；
（2）若函数f(x)=

a

?

b

对应的图象记为C
（I）求曲线C在A（1，3）处的切线方程？
（II）若直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点，求所有这样直线l的方程？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

a

=(x2，2)，

b

=(x，1)，且

a

∥

b

∴x²?1=2?x，解之得x=0或2
（2）f(x)=

a

?

b

=x²?x+1×2=x³+2
（I）对f（x）求导数，得f'（x）=3x²，
∴曲线C：y=f（x）在A（1，3）处切线的斜率k=f'（1）=3
结合直线的点斜式方程，得切线方程是y-3=3（x-1），即y=3x．
（II）设切点坐标P（t，t³+2），得在点P处切线的斜率k=f'（t）=3t²．
∴曲线C在点P处的切线方程为y-（t³+2）=3t²（x-t），即y=3t²x-2t³+2
由

y=3t2x-2t3+2

y=x3+2

得3t²x-2t³+2=x³+2，即x³-3t²x+2t³=0
∴（x-t）²（x+2t）=0，
因为切线与曲线C有且仅有一条一个公共点，所以只有t=0时以上方程有相等的实数根，此时l方程为y=2
∴存在直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点，此时切线方程为y=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“a=(x2，2)，b=(x，1)（1）若a∥b，求x；（2）若函数f(x)=a?b对应的图象..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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