已知函数f（x）=3ax2+2bx+b-a（a，b是不同时为零的常数）．（1）当a=13时，若不等式f（x）＞-13对任意x∈R恒成立，求实数b的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=3ax2+2bx+b-a（a，b是不同时为零的常数）．（1）当a=13时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=3ax²+2bx+b-a（a，b是不同时为零的常数）．
（1）当a=

1

3

时，若不等式f（x）＞-

1

3

对任意x∈R恒成立，求实数b的取值范围；
（2）求证：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=

1

3

时，f（x）=x²+2bx+b-

1

3

，
问题可化为x²+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，
故可得△=（2b）²-4b＜0，解得0＜b＜1
（2）证：当a=0，b≠0时，f（x）=2bx+b的零点为-

1

2

∈（-1，0），
当a≠0时，二次函数f（x）=3ax²+2bx+b-a的对称轴方程为x=-

b

3a

，
①若-

b

3a

≤-

1

2

，即

b

a

≥

3

2

时，f（-

1

2

）f（0）=（-

1

4

a）（b-a）=（-

1

4

a2）（

b

a

-1）＜0，
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
②-

b

3a

＞-

1

2

，即

b

a

＜

3

2

时，f（-1）f（-

1

2

）=（2a-b）（-

1

4

a）=（-

1

4

a2）（2-

b

a

）＜0
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
综上可得：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=3ax2+2bx+b-a（a，b是不同时为零的常数）．（1）当a=13时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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