已知函数f（x）=4x3+3tx2-6t2x+t-1，x∈R，其中t∈R．（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=4x3+3tx2-6t2x+t-1，x∈R，其中t∈R．（Ⅰ）当t=1时，求曲..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

试题来源：天津试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当t=1时，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0
f'（x）=12x²+6x-6，f'（0）=-6，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．
（II）f'（x）=12x²+6tx-6t²，f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

∵t≠0，以下分两种情况讨论：
（1）若t＜0，则

t

2

＜-t，∴f（x）的单调增区间是（-∞，

t

2

），（-t，+∞）；f（x）的单调减区间是（

t

2

，-t）
（2）若t＞0，则

t

2

＞-t，∴f（x）的单调增区间是（-∞，-t），（

t

2

，+∞）；f（x）的单调减区间是（-t，

t

2

）
（III）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，

t

2

）内单调递减，在（

t

2

，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当

t

2

≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减．
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-13＜0
所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
（2）当0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，

t

2

）内单调递减，在（

t

2

，1）内单调递增
若t∈（0，1]，f（

t

2

）=-

7

4

t3+t-1≤-

7

4

t3＜0，
f（1）=）=-6t²+4t+3≥-2t+3＞0
所以f（x）在（

t

2

，1）内存在零点．
若t∈（1，2），f（

t

2

）=-

7

4

t3+t-1＜-

7

4

t3+1＜0，
f（0）=t-1＞0∴f（x）在（0，

t

2

）内存在零点．
所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=4x3+3tx2-6t2x+t-1，x∈R，其中t∈R．（Ⅰ）当t=1时，求曲..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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