已知函数f（x）=x3-3ax+b在x=1处有极小值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g(x)=m3f′(x)-2x+3在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-3ax+b在x=1处有极小值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-3ax+b在x=1处有极小值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g(x)=

m

3

f′(x)-2x+3在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．

试题来源：惠州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f'（x）=3x²-3a…（1分）
依题意有

f′(1)=3-3a=0

f(1)=1-3a+b=2

，…（3分）
解得

a=1

b=4

，…（4分）
此时f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
x∈（-1，1），f'（x）＜0，x∈（1，+∞），f'（x）＞0，满足f（x）在x=1处取极小值
∴f（x）=x³-3x+4…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-3
∴g(x)=

m

3

f′(x)-2x+3=

m

3

(3x2-3)-2x+3=mx2-2x-m+3…（6分）
当m=0时，g（x）=-2x+3，
∴g（x）在[0，2]上有一个零点x=

3

2

（符合），…（8分）
当m≠0时，
①若方程g（x）=0在[0，2]上有2个相等实根，即函数g（x）在[0，2]上有一个零点．
则

△=4-4m(-m+3)=0

0≤

1

m

≤2

，得m=

3+

5

2

…（10分）
②若g（x）有2个零点，1个在[0，2]内，另1个在[0，2]外，
则g（0）g（2）≤0，即（-m+3）（3m-1）≤0，解得m≤

1

3

，或m≥3…（12分）
经检验m=3有2个零点，不满足题意．
综上：m的取值范围是m≤

1

3

，或m=

3+

5

2

，或m＞3…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-3ax+b在x=1处有极小值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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