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1、试题题目：已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．（Ⅰ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）探究：是否存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．

  试题来源：福建模拟   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的零点与方程根的联系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解法一：（Ⅰ）因为f（x）=x2+alnx，所以f′(x)=2x+
a
x
，
函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=2+a．
由2+a=10得：a=8．              …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+8lnx，令F（x）=f（x）-2x=x2-2x+8lnx．
因为F（1）=-1＜0，F（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一个根．
又因为F′(x)=2x-2+
8
x
≥2
16
-2=6＞0，所以F（x）在（0，+∞）上递增，
所以函数F（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，即方程f（x）=2x有且只有一
个实根．                 …（7分）
（Ⅲ）证明如下：
由f（x）=x2+8lnx，f′(x)=2x+
8
x
，可求得曲线y=f（x）在点A处的切
线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+
8
t
)(x-t)，
即y=(2t+
8
t
)x-t2+8lnt-8（x＞0）．            …（8分）
记h（x）=x2+8lnx-[(2t+
8
t
)x-t2+8lnt-8]=x2+8lnx-(2t+
8
t
)x+t2-8lnt+8（x＞0），
则h′(x)=2x+
8
x
-(2t+
8
t
)=
2(x-t)(x-
4
t
)
x
．      …（11分）
（1）当t=
4
t
，即t=2时，h′(x)=
2(x-2)2
x
≥0对一切x∈（0．+∞）成立，
所以h（x）在（0，+∞）上递增．
又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时h（x）＜0，当x∈（2，+∞）时h（x）＞0，
即存在点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线
在该点处切线的两侧．           …（12分）
（2）当t＞
4
t
，即t＞2时，x∈(0，
4
t
)时，h'（x）＞0；x∈(
4
t
，t)时，h'（x）＜0；x∈（t，+∞）时，h'（x）＞0．
故h（x）在(
4
t
，t)上单调递减，在（t，+∞）上单调递增．
又h（t）=0，所以当x∈(
4
t
，t)时，h（x）＞0；当x∈（t，+∞）时，h（x）＞0，
即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
同侧．                           …（13分）
（3）当t＜
4
t
，即0＜t＜2时，x∈（0，t）时，h'（x）＞0；x∈(t，
4
t
)时，h'（x）＜0；x∈(
4
t
，+∞)时，h'（x）＞0．
故h（x）在（0，t）上单调递增，在(t，
4
t
)上单调递减．
又h（t）=0，所以当x∈（0，t）时，h（x）＜0；当x∈(t，
4
t
)时，h（x）＜0，
即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．
综上，存在唯一点A（2，4+8ln2）使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧．                    …（14分）
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）证明如下：
由f（x）=x2+8lnx，f′(x)=2x+
8
x
，可求得曲线y=f（x）在点A处的切
线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+
8
t
)(x-t)，
即y=(2t+
8
t
)x-t2+8lnt-8（x＞0）．           …（8分）
记h（x）=x2+8lnx-[(2t+
8
t
)x-t2+8lnt-8]=x2+8lnx-(2t+
8
t
)x+t2-8lnt+8（x＞0），
则h′(x)=2x+
8
x
-(2t+
8
t
)=
2(x-t)(x-
4
t
)
x
．   …（11分）
若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都
位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，
由二次函数的性质知，当且仅当t=
4
t
，即t=2时，t不是极值点，即h'（x）≥0．
所以h（x）在（0，+∞）上递增．
又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时，h（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，
即存在唯一点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧．                …（14分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．（Ⅰ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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