已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为f‘n（x），且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+1λ(ξ2-ξ1)]（ξ1≠ξ2），λ，ξ1，ξ2为常数．（Ⅰ）试求λ的值；（Ⅱ）设函数f2n-1（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为f‘n（x），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知定义在实数集上的函数f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其导函数记为f'_n（x），且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]（ξ₁≠ξ₂），λ，ξ₁，ξ₂为常数．
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f_2n-1（x）与f_n（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于x的方程

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

λn-1

λn+1-1

在区间（0，1）上的实数根的个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f₂（x）=x²，则f₂′（x）=2x，
∴ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]，又ξ₁≠ξ₂，
∴ξ2+ξ1=2ξ1+

2

λ

(ξ2-ξ1)?λ=2．…（4分）
（Ⅱ）令y=F（x）=f_2n-1（x）?f_n（1-x）=（1-x）ⁿ?x^2n-1，
则y'=-n（1-x）^n-1?x^2n-1+（2n-1）x^2n-2?（1-x）ⁿ=x^2n-2?（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y'=0，得x1=0，x 2=

2n-1

3n-1

，x3=1，且x₁＜x₂＜x₃，
当n为正偶数时，随x的变化，y'与y的变化如下：

x

（-∞，0）

0

(0，

2n-1

3n-1

)

2n-1

3n-1

(

2n-1

3n-1

，1)

1

（1，+∞）

y'

+

0

+

0

-

0

+

y

极大值

极小值

所以当x=

2n-1

3n-1

时，y_极大=

(2n-1)2n-1?nn

(3n-1)3n-1

；当x=1时，y_极小=0．…（7分）
当n为正奇数时，随x的变化，y'与y的变化如下：

x

（-∞，0）

0

(0，

2n-1

3n-1

)

2n-1

3n-1

(

2n-1

3n-1

，1)

1

（1，+∞）

y'

+

0

+

0

-

0

+

y

极大值

所以当x=

2n-1

3n-1

时，y_极大=

(2n-1)2n-1?nn

(3n-1)3n-1

；无极小值．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

2n-1

2n+1-1

，即

n(1+x)n-1

(n+1)(1+x)n

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，
所以方程为

n

(n+1)

?

1

1+x

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，…（12分）∴x=

n(2n+1-1)-(n+1)(2n-1)

(n+1)(2n-1)

=

1+(n-1)2n

(n+1)(2n-1)

＞0，…（13分）
又x-1=

n+2-2n+1

(n+1)(2n-1)

，而对于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2（利用二项式定理可证），∴x＜1．…（14分）
综上，对于任意给定的正整数n，方程只有唯一实根，且总在区间（0，1）内，所以原方程在区间（0，1）上有唯一实根．…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为f‘n（x），..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：