证明函数f（x）=lnx-x2+x只有一个零点．-数学试题及答案

1、试题题目：证明函数f（x）=lnx-x2+x只有一个零点．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

证明函数f（x）=lnx-x²+x只有一个零点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

令f'（x）=0，即-

2x2-x-1

x

=0，解得x=-

1

2

或x=1．
∵x＞0，∴x=-

1

2

舍去．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1²+1=0．
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
∴函数f（x）只有一个零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“证明函数f（x）=lnx-x2+x只有一个零点．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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