已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+12x2+(b-3)x．（I）当0＜a＜1且，f′（1）=0时，求f（x）的单调区间；（II）已知f′(3)≤16且对|x|≥2的实数x都有f‘（x）≥0．若函数y=f′（x）有零点，求函数y=f（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+12x2+(b-3)x．（I）当0＜a＜1且，f′（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+

1

2

x2+(b-3)x．
（I）当0＜a＜1且，f′（1）=0时，求f（x）的单调区间；
（II）已知f′(3)≤

1

6

且对|x|≥2的实数x都有f'（x）≥0．若函数y=f′（x）有零点，求函数y=f（x）与函数y=f′（x）的图象在x∈（-3，2）内的交点坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数的定义域为（-3，+∞），…1′
f′（x）=

x2+bx+a

x+3

（x＞-3），由f′（1）=0?b=-a-1，
故f′（x）=

(x-1)(x-a)

x+3

…3′
∵0＜a＜1，
∴由f′（x）＞0得-3＜x＜a或x＞1，
∴f（x）的单调递增区间为（-3，a），（1，+∞），
同理由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（a，1），…5′
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f′（3）≤

1

6

?a≤-3b-8①
又由|x|≥2且x＞-3，有f′（x）≥0，
∴y=f′（x）的零点在[-2，2]内，设g（x）=x²+bx+a，
则

g(2)≥0

g(-2)≥0

-2≤-

b

2

≤2

b2-4a≥0

?

a≥-4-2b

a≥2b-4

-4≤b≤4

b2≥4a

，结合①解得b=-4，a=4，
∴f（x）=25ln（x+3）+

1

2

x²-7x…9′
又设φ（x）=f（x）-f′（x），
∵φ′（x）=

(x-2)2

x+3

+

25

(x+3)2

-1，由-3＜x＜2得0＜（x+3）²＜25，
故φ′（x）＞0，φ（x）在（-3，2）上单调递增，又φ（-2）=0，故φ（x）与x轴有唯一交点，
∴函数y=f（x）与函数y=f′（x）的图象在x∈（-3，2）内的交点坐标为（-2，16）…12′

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+12x2+(b-3)x．（I）当0＜a＜1且，f′（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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