设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：（1）方程f（x）-1=0有实数解；（2）函数f（x）的导数f‘（x）满足0＜f‘（x）＜2，给出如下函数：①f（x）=x+sinx；②f(x)=x+tanx，x∈(-π2，π2)；-数学试题及答案

1、试题题目：设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：（1）方程f（x）-1=0有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：
（1）方程f（x）-1=0有实数解；
（2）函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜2，给出如下函数：
①f（x）=x+sinx；
②f(x)=x+tanx，x∈(-

π

2

，

π

2

)；
③f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2^x．
其中是集合M中的元素的有______．（只需填写函数的序号）

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①∵f（x）=x+sinx，∴由f（x）-1=0，得x-1+sinx=0
分别做出函数y=x-1和y=sinx的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1-cosx，-1≤cosx≤1，
∴0≤f（x）≤2，即条件（2）不成立．
故①不是集合M中的元素．
②∵f(x)=x+tanx，x∈(-

π

2

，

π

2

)，
∴由f（x）-1=0，得x+tanx-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=tanx的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1+

1

cos2x

，∴条件（2）不成立．
故②不是集合M中的元素．
③∵f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞），
∴由f（x）-1=0，得x+log₃x-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=log₃x的图象知，二者有两个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f′(x)=1+

1

xln3

，∴条件（2）成立．
故③是集合M中的元素．
④∵f（x）=x+2^x．∴由f（x）-1=0，得x+2^x-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=2^x的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1+2^xln2，∴条件（2）不成立．
故④不是集合M中的元素．
故答案为③．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：（1）方程f（x）-1=0有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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