已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）=ax2+（a-b）x-c．（1）求证：函数y=f（x）必有两个不同的零点．（2）若函数y=f（x）的两个零点分别为m，n，求|m-n|的取值范围．（3）是否存-数学试题及答案

1、试题题目：已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）=ax2+（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）=ax²+（a-b）x-c．
（1）求证：函数y=f（x）必有两个不同的零点．
（2）若函数y=f（x）的两个零点分别为m，n，求|m-n|的取值范围．
（3）是否存在这样实数的a、b、c及t，使得函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]．若存在，求出t的值及函数y=f（x）的解析式；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知，∵a+b+c=0，且-

b

2a

＞1，∴a＜0且

c

a

＞1，∴ac＞0．
对于函数f（x）=ax²+（a-b）x-c．有△=（a-b）²+4ac＞0，∴f（x）必有2个不同零点．
（2）|m-n|2=(m+n)2-4mn=

(b-a)2+4ac

a2

=

(-2a-c)2+4ac

a2

=(

c

a

)2+8?

c

a

+4
由不等式ax²+bx+c＞0的解集为（1，t）可知，ax²+bx+c=0的两个解分别为1和t（t＞1），
由韦达定理有

c

a

=t，∴|m-n|²=t²+8t+4=（t+4）²-12，t∈（1，+∞），∴|m-n|²＞5²-12=13，∴|m-n| ＞

13

，
即|m-n|的取值范围为（

13

，+∞）．
（3）假设存在满足题意的实数a、b、c及t，∴f(x)=ax2+(a-b)x-c=a[x2+(1-

b

a

)x-

c

a

]=a[x2+(1+

a+c

a

)x-

c

a

]
=a[x²+（2+t）x-t]（t≥1），∴f（x）的对称轴为x=-1-

t

2

＜-

3

2

，∴f（x）在[-2，1]的最小值为f（1）=3a=-6，则a=-2．
要使函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]，只要f（x）_max=12即可．
①若-1-

t

2

≤-2 ，即t≥2时，f（x）_max=f（-2）=123，则有6t=12，∴t=24．
此时，a=-2，b=6，c=-4，t=2，∴f（x）=-2x²-8x+4．
②若-1-

t

2

＞-2 ， ∴1＜t＜2，此时，f(x)max=f(-1-

t

2

)=

t2+8t+4

2

=12，∴t=2（舍去），或t=-10（舍去）．
综上所述：当a=-2，b=6，c=-4，t=2时，函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]，此时函数的表达式为f（x）=-2x²-8x+4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）=ax2+（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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