已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0）．（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0）．（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-alnx（常数a＞0）．
（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，e^a）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

试题来源：朝阳区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x²-3lnx，
∴f'（x）=2x-

3

x

（1分）
∴fˊ（1）=-1
又∵f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1）．
即x+y-2=0．--------------------------------3分
（Ⅱ）（1）下面先证明：e^a＞a（a≥0）．
设g（a）=e^a-a（a≥0），则g′（a）=e^a-1≥e⁰-1=0（a≥0），且仅当g′（a）=0?a=0，
所以g（a）在[0，+∞）上是增函数，故g（a）≥g（0）=1＞0．
所以e^a-a＞0，即e^a＞a（a≥0）．------------------------------5分
（2）因为f（x）=x²-a lnx，
所以f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x-

2a

2

)(x+

2a

2

)

x

．
因为当0＜x＜

2a

2

时，fˊ（x）＜0，当x＞

2a

2

时，1，fˊ（x）＞0．
又

a

2

＜a＜e^a＜e^2a（a≥0，a＜2a）?

2a

2

＜e^a，
所以f（x）在（0，

2a

2

]上是减函数，在[

2a

2

，+∞）是增函数．
所以f（x）_min=f（

2a

2

）=

a

2

(1-ln

a

2

)．------------------------------9分
（3）下面讨论函数f（x）的零点情况．
①当

a

2

(1-ln

a

2

)＞0，即0＜a＜2e时，函数f（x）在（1，e^a）上无零点；
②当

a

2

(1-ln

a

2

)=0，即a=2e时，

2a

2

=

e

，则1＜

2a

2

＜e^a
而f（1）=1＞0，f（

2a

2

）=0，f（e^a）＞0，
∴f（x）在（1，e^a）上有一个零点；
③当

a

2

(1-ln

a

2

)＜0，即a＞2e时，e^a＞

2a

2

＞

e

＞1，
由于f（1）=1＞0，f（

2a

2

）=

a

2

(1-ln

a

2

)＜0．
f（e^a）=e^2a-a lne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函数f（x）在（1，e^a）上有两个零点．（13分）
综上所述，f（x）在（1，e^a）上有结论：
当0＜a＜2e时，函数f（x）有、无零点；
a=2e时，函数f（x）有一个零点；
当a＞2e时，函数f（x）有两个零点．------------------------------14分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0）．（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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