已知f（x）=ex-ax（e=2.718…）（I）讨论函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅲ）A（xl，yl），B（x2，y2）是f（x）的图象上任意两点，且x1＜x2-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ex-ax（e=2.718…）（I）讨论函数f（x）的单调区间；（II）若函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知f（x）=e^x-ax（e=2.718…）
（I）讨论函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，求a的取值范围；
（Ⅲ） A（x_l，y_l），B（x₂，y₂）是f（x）的图象上任意两点，且x₁＜x₂，若总存在x_o∈R，使得f′(xo)=

y1-y2

x1-x2

，求证：x_o＞x_l．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，令f′（x）=e^x-a＞0，
①当a≤0时，f′（x）=e^x-a＞0在x∈R上恒成立，
所以f（x）在R上单调递增．
②当a＞0时，∵f′（x）=e^x-a＞0，∴e^x-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
（II）∵函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，
∴由（Ⅰ）知a＞0，且

f(0)=1＞0

f(lna)=elna-alna＜0

f(2)=e2-2a＞0

，
解得e＜a＜

e2

2

．
故a的取值范围是（e，

e2

2

）．
（Ⅲ）证明：f′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

?ex0-a=

ex1-ex2-a(x1-x2)

x1-x2

?ex0=

ex1-ex2

x1-x2

，
等式两边同时除以ex1，得

ex0

ex1

=

1-ex2-x1

x1-x2

，
设t=x₂-x₁，则t＞0，
构造函数g（t）=

1-et

-t

=

et-1

t

．
则g′(t)=

et?t-(et-1)

t2

=

et(t-1)+1

t2

＞0在t＞1时恒成立，
所以g（t）在t＞1时恒成立，
所以g（t）＞g（1）=e-1＞1，
所以

ex0

ex1

＞1，故x₀＞x₁．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ex-ax（e=2.718…）（I）讨论函数f（x）的单调区间；（II）若函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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