已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-1-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a，b，c，d是实数．
（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；
（2）若a，b，c满足b²-3ac＜0，求证：函数f（x）是单调函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）f′（x）=3ax²+2bx+c．
由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax²+2bx-18．（3分）
又由于f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，
所以-1和3必是f′（x）=0的两个根．
从而

3a-2b-18=0

27a+6b-18=0.

解得

a=2

b=-6.

（5分）
又根据f（0）=-7，所以f（x）=2x³-6x²-18x-7（7分）
（2）f′（x）=3ax²+2bx+c由条件b²-3ac＜0可知a≠0，c≠0．（9分）
因为f'（x）为二次三项式，
并且△=（2b）²-4（3ac）=4（b²-3ac）＜0，
所以，当a＞0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）是单调递增函数；
当a＜0时，f'（x）＜0恒成立，此时函数f（x）是单调递减函数．
因此，对任意给定的实数a，函数f（x）总是单调函数．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：