已知函数f(x)=x2+2x+alnx，(a∈R)（1）若a=-4，求函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）记函数g（x）=x2f′（x），若g（x）的最小值是-52，求f-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x2+2x+alnx，(a∈R)（1）若a=-4，求函数f（x）的单调性；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x2+

2

x

+alnx，(a∈R)
（1）若a=-4，求函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）记函数g（x）=x²f′（x），若g（x）的最小值是-

5

2

，求f（x）的解析式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-4时，f(x)=x2+

2

x

-4lnx，（x＞0）
f′(x)=2x -

2

x2

-

4

x

=

2x3-4x-2

x2

=

2(x2-x-1)(x+1)

x2

令f′（x）=0，则x=

1+

5

2

∵x∈（0，

1+

5

2

）时，f′（x）＜0，∵当x∈（

1+

5

2

，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，

1+

5

2

）为函数f(x)=x2+

2

x

-4lnx的单调递减区间，
∴（

1+

5

2

，+∞）为函数f(x)=x2+

2

x

-4lnx的单调递增区间；
（2）∵f′（x）=

2x3+ax-2

x2

若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即2x³+ax-2≥0在[1，+∞）上恒成立
即a≥

1-x4

x

在[1，+∞）上恒成立
令h（x）=

1-x4

x

，则h′（x）=

-3x4-1

x2

＜0恒成立
故h（x）=

1-x4

x

在[1，+∞）上单调递减
当x=1时，h（x）取最大值0
故a≥0，即实数a的取值范围为[0，+∞）
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2
则g′（x）=6x²+a，
当a≥0时，g′（x）≥0恒成立
此时g（x）在定义域（0，+∞）上无最小值
当a＜0时，令g′（x）=6x²+a=0
则x=

-

a

6

∵x∈（0，

-

a

6

）时，f′（x）＜0，∵当x∈（

-

a

6

，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，

-

a

6

）为函数g（x）的单调递减区间，
∴（

-

a

6

，+∞）为函数g（x）的单调递增区间；
当x=

-

a

6

时，g（x）的最小值g（

-

a

6

）=2

-

a

6

3+a

-

a

6

-2=-

5

2

，
解得a=-

3

2

∴f(x)=x2+

2

x

-

3

2

lnx

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x2+2x+alnx，(a∈R)（1）若a=-4，求函数f（x）的单调性；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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