已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）过点（2，2）能作几条直线与曲线y=f（x）相切？说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）过点（2，2）能作几条直线与曲线y=f（x）相切？说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3ax²+b，由题知…（1分）

f′(1)=2

f(1)=2-2=0

?

3a+b=2

a+b=0

?

a=1

b=-1

∴f（x）=x³-x…（5分）
（2）设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t）
即y=（3t²-1）x-2t³…（7分）
由切线过点（2，2）得：2=（3t²-1）?2-2t³，过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t³-3t²+2=0的实根个数…（9分）
令g（t）=t³-3t²+2，则g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t₁=0，t₂=2
当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表

t	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	极大值2	↘	极小值-2	↗

由g（0）?g（2）=-4＜0知，故g（t）=0有三个不同实根可作三条切线…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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