设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．（I）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（II）若|x1|+|x2|=22，求b的最大值；（III）设函数g（x）=f‘（x）-a（x-x1），x∈（-数学试题及答案

1、试题题目：设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：|g(x)|≤

1

12

a(3a+2)2．

试题来源：广东三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（I）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依题意有

f′(-1)=0

f′(2)=0

，
∴

3a-2b-a2=0

12a+4b-a2=0

(a＞0)．
解得

a=6

b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．
（II）∵f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意，x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，且|x1|+|x2|=2

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．
∴(-

2b

3a

)2-2?(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a²（6-a），则p'（a）=-9a²+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为4

6

．
（III）证明：∵x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根，
∴f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．
∵x1?x2=-

a

3

，x₂=a，
∴x1=-

1

3

．
∴|g(x)|=|3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)|=|a(x+

1

3

)[3(x-a)-1]|
∵x₁＜x＜x₂，即-

1

3

＜x＜a．
∴|g(x)|=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)
∴|g（x）|=-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a≤

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

12

．
∴|g（x）|≤

a

12

(3a+2)2成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：